Mnoho študentov, ktorí študujú pokročilú matematiku na pokročilých kurzoch, sa asi čudovali: kde sú diferenciálne rovnice (DE) používané v praxi? Spravidla sa o tejto otázke nehovorí na prednáškach a učitelia okamžite pristupujú k riešeniu teórie riadenia bez toho, aby študentom vysvetlili použitie diferenciálnych rovníc v reálnom živote. Pokúsime sa vyplniť túto medzeru.
Začneme definovaním diferenciálnej rovnice. Takže diferenciálna rovnica je rovnica, ktorá spája hodnotu derivačnej funkcie so samotnou funkciou, s hodnotami nezávislej premennej a s niektorými číslami (parametrami).
Najbežnejšou oblasťou, v ktorej sa používajú diferenciálne rovnice, je matematický opis prírodných javov. Používajú sa tiež pri riešení problémov, keď nie je možné vytvoriť priamy vzťah medzi niektorými hodnotami, ktoré opisujú proces. Takéto úlohy vznikajú v biológii, fyzike a ekonómii.
V biológii:
Prvým podstatným matematickým modelom opisujúcim biologické spoločenstvá bol Lotka-Volterra model. Opisuje populáciu dvoch vzájomne sa ovplyvňujúcich druhov. Prvý z nich, nazývaný predátori, zomrie podľa zákona x '= –ax (a> 0) v neprítomnosti druhého a druhý korisť, v prípade neexistencie predátorov, sa násobí neobmedzene v súlade s Malthusovým zákonom. Interakcia týchto dvoch druhov je modelovaná nasledovne. Obete vymreli rýchlosťou rovnajúcou sa počtu stretnutí predátorov a obetí, čo sa v tomto modeli považuje za úmerné počtu obidvoch populácií, t. J. Rovná sa dxy (d> 0). Preto y '= - dxy. Predátori sa rozmnožujú rýchlosťou úmernou počtu konzumovaných koristi: x '= –ax + cxy (c> 0). Systém rovníc
x '= –ax + cxy, (1)
y '= prostredníctvom - dxy, (2)
opisujúci takúto populáciu je dravec korisťou a nazýva sa systém Trays - Volterra (alebo model).
Vo fyzike:
Newtonov druhý zákon možno písať vo forme diferenciálnej rovnice
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), kde m je hmotnosť tela, x je jeho súradnica, F (x, t) je sila pôsobiaca na telo s súradnicou x v čase t. Jeho riešením je trajektória tela pôsobením naznačenej sily.
